Ku czci prof. Stanisława Krajewskiego z okazji 70. urodzin

23/06/2020 | Na stronie od 25/06/2020

Stanisław Krajewski

Edukacja Filozoficzna 68/2019 ku czci prof. Stanisława Krajewskiegoz okazji 70. urodzin (PDF)

W NUMERZE:

Zawartość numeru

Od redakcji

Numer ten skomponowaliśmy ku czci prof. Stanisława Krajewskiego – wybitnego matematyka, logika, filozofia, a zarazem... dobrego człowieka – z okazji jego 70. urodzin.

Przymiotnik „wybitny” brzmi mocno, a „dobry” z kolei może zbyt wielo-znacznie... W naszym przekonaniu jednak kombinacja tych dwóch cech, świadcząca z jednej strony o wnikliwym umyśle, a z drugiej – o wielkim sercu, najlepiej oddaje to, jakim człowiekiem jest prof. Krajewski.

Stanisław Krajewski urodził się 10 stycznia 1950 r. w Warszawie w rodzinie o bogatych tradycjach intelektualnych. Studia magisterskie odbył na Wydziale Matematyki, Fizyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego, a doktoranckie – pod kierunkiem prof. Andrzeja Grzegorczyka – w Instytucie Matematycznym PAN, gdzie w 1975 r. uzyskał doktorat z matematyki. Jego prace z tego okresu, dotyczące pojęcia klas spełniania, przyniosły mu międzynarodowe uznanie. W latach 1975–1981 pracował jako adiunkt w Filii UW w Białymstoku, a potem w Instytucie Matematycznym PAN (1981–1996), rozwijając swoje zainteresowania filozofią. Współprowadził tam m.in. słynne seminarium z filozofii matematyki, które gromadziło najwybitniejszych polskich uczonych zajmujących się tą tematyką.

Z czasem w jego twórczości stopniowo coraz mocniej zaznaczały się wspomniane zainteresowania filozofią, w tym filozofią religii, oraz tematyką żydowską i dialogiem żydowsko-chrześcijańskim. Publikował zarówno prace naukowe, jak i liczne teksty publicystyczne. Jednocześnie kontynuował badania logiczne. Wraz z Richardem L. Epsteinem zajmował się m.in. powiązaniami członów implikacji w ramach koncepcji „logiki związku”, a także wzajemną przekładalnością logik Profesorowi Stanisławowi Krajewskiemu z okazji 70. urodzin oraz problemem jedności logiki. W latach 90. podjął badania nad filozoficznym znaczeniem definicji prawdy Tarskiego i twierdzenia Gödla. Interesował się również stosunkami, jakie łączyły tych dwóch wielkich logików. W 1997 r. rozpoczął pracę w Instytucie Filozofii UW. W tym czasie rozwijał badania nad filozofią religii oraz nad filozoficznymi interpretacjami twierdzenia Gödla, czego owocem była książka Twierdzenie Gödla i jego interpretacje filozoficzne – od mechanicyzmu do postmodernizmu, na podstawie której w 2003 r. na Wydziale Filozofii i Socjologii UW uzyskał stopień doktora habilitowanego. W kolejnych dwóch dekadach XXI w. intensywnie działał we wszystkich wspomnianych wcześniej dziedzinach, wskazując na ważkie naukowo powiązania, m.in. pomiędzy matematyką i teologią. W roku 2011 opublikował książkę Czy matematyka jest nauką humanistyczną?, która m.in. stała się podstawą przyznania mu tytułu profesora. Omówił w niej szereg ciekawych zagadnień z zakresu filozofii matematyki, takich jak: emergencja w matematyce, spór o sztuczną inteligencję, współczesny neopitagoreizm, znaczenie i interpretacja twierdzenia Gödla i tezy Churcha, racjonalizm w matematyce, czy wreszcie tytułowy humanistyczny wymiar matematyki. W tym okresie współredagował wiele monografii i tomów naukowych oraz wydał kilka książek dotyczących judaizmu i dialogu międzyreligijnego. Najnowsza z nich, nawiązując do jednego z jego ulubionych miejsc, nosi tytuł: Żydzi w Polsce – i w Tatrach też.

W 2011 r. został profesorem nadzwyczajnym, natomiast w 2012 r. otrzymał tytuł profesora nauk humanistycznych. W 2018 r. został profesorem zwyczajnym w Instytucie Filozofii UW, w którym w 2012 r. zaczął też pełnić funkcję przewodniczącego Rady Naukowej.

Oczywiście, sama kariera nie zawsze przesądza o „wybitności”. Można by więc jeszcze dodać, że prof. Krajewski jest cenionym naukowcem, zapraszanym do udziału w wielu ważnych inicjatywach naukowych. W 2017 r. został członkiem Institut International de Philosophie z siedzibą w Paryżu. Uczestniczył w międzynarodowych przedsięwzięciach filozoficzno-teologicznych, w tym w „Contemporary Jewish Theology of World Religions”, zorganizowanym przez rabina Alona Goshena-Gottsteina z Jerozolimy, oraz „Learned Ignorance Trialogue”, której przewodniczył ks. James L. Heft z Kalifornii. W 2019 r. został zaproszony przez Brazylijską Akademię Filozoficzną jako gość pierwszego światowego kongresu BAF. Był także recenzentem European Research Council, a ponadto w tym samym roku w uznaniu licznych zasług otrzymał nagrodę indywidualną Rektora Uniwersytetu Warszawskiego.

Można też wspomnieć o jego aktywności jako organizatora życia naukowego. W 2007 r. był pomysłodawcą i głównym organizatorem konferencji „Abraham Joshua Heschel. Philosophy and Inter-Religious Dialogue: Between Poland and America” (na UW); w 2014 zorganizował konferencję „Theology in Mathematics?” (w Krakowie, współpraca UW i UPJP2). Z kolei w 2017 r. jako przewodniczący komitetu naukowego współorganizował w Warszawie II światowy kongres „Logic and Religion” (w którym wziął udział m.in. Saul Kripke). Ponadto zasiada w kapitule kolejnych edycji tego kongresu i przygotowuje dwie sesje na najbliższy kongres w Indiach (Waranasi, 2020). Na początku 2019 r. włączył się w organizację I Światowego Dnia Logiki, objętego następnie patronatem UNESCO, przygotowując obchody tego dnia na UW, a rok później zorganizował na UW kolejną edycję ŚDL.

Jednak wszystko to są jedynie oznaki tego, co najważniejsze, a co ujawnia się i uderza dopiero w tekstach i wystąpieniach Jubilata: zdolność łączenia wiedzy z wielu dyscyplin i przez to całościowego spojrzenia na naturę nauk w ich wzajemnych powiązaniach; głębia analiz, nie pozwalająca zadowolić się szybkimi, a płytkimi rozwiązaniami; pokora i zarazem dociekliwość filozofa, który najpierw poczeka i przyjrzy się nowym pomysłom (również swoim), zanim coś rozstrzygnie, uczciwego, otwartego i ciekawego innych ludzi oraz tego, co myślą, a zarazem niesłychanie szczerego, nieobawiającego się wypowiedzieć własne zdanie. To sprawia, że rozmowy z nim są intelektualną przygodą i prawdziwym poszukiwaniem. I to dopiero świadczy o jego wybitności.

Dodajmy tu jeszcze jedną uwagę dotyczącą zdania otwierającego tę opowieść. Uwagę, która w tym świetle okazuje się niemal oczywista (a która dodatkowo nawiązuje do lubianych przez Jubilata rozważań nad spójnikiem „i”). Gdy prof. Krajewskiego nazywa się wybitnym matematykiem, logikiem i filozofem, nie należy traktować tych określeń oddzielnie, tak jakby był on wybitnym matematykiem, wybitnym logikiem i wybitnym filozofem. To wybitny matematyk-logik-filozof. Te trzy dyscypliny łączą się u niego tak ściśle, że słuchając go lub czytając jego teksty, nie sposób stwierdzić, że wypowiada się np. wyłącznie jako matematyk. Co więcej, właśnie z tego powiązania biorą się najciekawsze jego odkrycia. I jak taki właśnie uczony jest on wybitny.

Dlaczego zaś ów wybitny uczony to zarazem dobry człowiek? Oczywiście jako argument można by przytoczyć liczne działania i inicjatywy, w których kierował się na dobro innych. Udział w proteście studenckim w 1972 r., a potem działalność w Solidarności. Współtworzenie organizacji, takich jak Towarzystwo Przyjaźni Polsko-Izraelskiej, Polska Rada Chrześcijan i Żydów, Fundacja Forum Żydowskie (i w jej ramach „żydowski telefon zaufania”), oraz udział w wielu krajowych i międzynarodowych organizacjach i instytucjach związanych z Narodem Żydowskim oraz z dialogiem międzyreligijnym. Za działalność społeczną otrzymał: Krzyż Oficerski Orderu Odrodzenia Polski, złoty medal Międzynarodowej Rady Chrześcijan i Żydów, (wraz z żoną) Lifetime Achievement Award od Fundacji Taubego i American Jewish Committe, nagrodę im. ks. Musiała oraz odznakę „Zasłużony dla Kultury Polskiej”.

Jednak również w tym przypadku to, co najistotniejsze, to jego codzienna postawa: otwartość i wrażliwość na drugiego człowieka, związana z tym życzliwość, dobrze pojęta skromność (świadomość własnej wartości, bez wpadania w pychę lub w fałszywą skromność), odwaga i bezkompromisowość tam, gdzie należy ją przyjąć, i wreszcie to, co nie jest często doceniane czy nawet zauważane, a co sam głosi słowem i czynem: przyjmowanie postawy wdzięczności Bogu i ludziom.

Aby jednak nie poprzestać na dość ogólnym i skrótowym portrecie Jubilata, poprosiliśmy kilku uczonych, którzy współpracowali naukowo z prof. Krajewskim i którzy znają go od wielu lat, by podzielili się krótkimi wspomnieniami lub refleksjami, które w związku z nim przychodzą im na myśl. Uznaliśmy, że taki „kalejdoskop” wspomnień pomoże właściwiej i barwniej narysować sylwetkę Stanisława Krajewskiego.

Prof. Witold Marciszewski:

Znajomość z Jubilatem zawdzięczam pewnej osobliwości politycznej PRL-u, mianowicie temu, że choć był to ustrój represyjny, to jednak nie do końca, jak to było u sąsiadów. Dr matematyki Stanisław Krajewski był źle widziany przez czynnik partyjny kontrolujący zatrudnianie w UW, naraziwszy się jakimś nieprawowiernym wystąpieniem. Nie było jednak w UW tak źle, żeby taki kłopotliwy element musiał być skazany na bezrobocie, skoro istniała w Białymstoku Filia UW, potrzebująca zwłaszcza matematyków.

Nie była to banicja zbyt bolesna, bo tylko za cenę konieczności dojazdów. Dojeżdżała dość liczna brać dysydencka z UW, było się więc w ekskluzywnym towarzystwie, odważnym i żywym intelektualnie; rolę Klubu dyskusyjnego pełnił z reguły przedział pociągu. Tegoż Klubu byłem i ja chętnym uczestnikiem.

O sytuacji dra Krajewskiego powiedział mi Andrzej Grzegorczyk, pytając o możliwość zatrudnienia go w Filii. Nie było to trudne, bo kierownictwo uczelni miało maksymę, którą ładnie formułował najciekawszy w poczcie jej kierowników – Andrzej Jezierski: „my nie mamy przesądów”. Powiedziałem więc komu trzeba i zatrudnienie doszło do skutku.

Nie chciałbym jednak poprzestać na wspomnieniach. Nie tylko one łączą mnie z Jubilatem. Śledzę z zainteresowaniem i empatią jego działalność społeczną, i podzielam jej motywy, choć sam takiej nie uprawiam, koncentrując się na innych aktywnościach. Przede wszystkim zaś podzielam jego intensywne zainteresowanie filozofią logiki i matematyki, choć w tym względzie daleko jest do symetrii, skoro jedna ze stron nie ma wykształcenia matematycznego. Z ciekawością wczytuję się w jego książkę Czy matematyka jest nauką humanistyczną? Kilka razy zaczynałem pisać na podejmowane tam tematy, jak: racjonalizm a matematyka, matematyzm itp., ale wyprodukowawszy setkę kilobajtów, poniechałem tego zajęcia, widząc, jak odległe kompetencyjnie od esejów Krajewskiego są moje teksty.

Skoro jednak obecny tekst nie ma charakteru studium, lecz swobodnej refleksji, pozwolę sobie na glossę do eseju Emergencja w matematyce. Autor definiuje emergencję przez poszukiwanie jej przykładów. Wymienia ich sześć, każdy dający wiele do myślenia, a ja chciałbym dodać siódmy – maszynę Turinga z wyrocznią, opisaną w jego rozprawie Systems of logics based on ordinals z 1939 r.

Wyrocznia potrafi to, czego nie potrafi Uniwersalna Maszyna Turinga, na której to urządzenie jest zamontowane. Gdy UMT natrafi na funkcję nieobliczalną, czyli taką, dla której obliczenie brak algorytmu, to wyrocznia potrafi podać jej wartość. Stąd efekt zaskoczenia – ten, jakim reagujemy na emergencję; dostajemy przecież wynik nieuzasadniony żadnym algorytmem.

Znawcy myśli Turinga interpretują pojęcie wyroczni jako obrazowe ujęcie intuicji matematycznej, zdolnej odkrywać nowe aksjomaty, których dołączenie do systemu uzdalnia go do rozwiązywania problemów dotąd nierozwiązywalnych. Kapitalnym tego przykładem, bardzo ciekawie opisanym przez Krajewskiego, jest dołączenia aksjomatycznej definicji mnożenia do arytmetyki Presburgera. Inny nasuwający się przykład: intuicja pewnego uczonego Hindusa, która doprowadziła do wyłonienia się (czyli emergencji) pojęcia zera.

Alan Turing, podkreślając, że wyrocznia nie jest urządzeniem mechanicznym, akcentuje zarazem, że nie jest ona niezawodna. Ów temat omylności intuicji podjął Kurt Gödel, traktując jej wyniki jako hipotezy do sprawdzenia, oraz rozważając prowadzące do tego metody. Z drugiej strony, Emil Post rozwijał myśl Turinga na zaawansowanym poziomie formalnym.A zatem Krajewskiego opowieść o emergencji w matematyce, rozpoczęta tak ciekawie, może się przekształcić w wieloodcinkowy serial, który powinien przyciągnąć wielu wdzięcznych odbiorców.

Prof. Zbigniew Król:

Korzystając z okazji uroczystego jubileuszu Profesora Stanisława Krajewskiego, chciałbym podzielić się dwoma bardziej osobistymi refleksjami. Pierwsza z nich dotyczy 2004 r., kiedy to starałem się o pracę w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN w Warszawie w zakładzie, w którym wiele lat pracował Ojciec Jubilata, Profesor Władysław Krajewski. Ówczesna kierownik zakładu, prof. Alina Motycka, zasugerowała mi, abym zwrócił się z prośbą o list rekomendacyjny do Profesora Władysława Krajewskiego, którego prace znałem jeszcze z czasów studenckich. Byłem trochę niepewny rezultatu, gdyż jako absolwent KUL-u z doktoratem dotyczącym platonizmu matematycznego, znając prace Profesora, zdawałem sobie sprawę, że nasze poglądy na szereg spraw mogą się różnić. Ku mojemu zaskoczeniu, Profesor Krajewski-senior zgodził się bez żadnego problemu, widząc mnie chyba pierwszy raz w życiu. Poprosił jednak o moje prace, w tym magisterską z kosmologii relatywistycznej, oraz zastrzegł, że najpierw musi się z nimi zapoznać. Po pewnym czasie, ku mojemu jeszcze większemu zdziwieniu, otrzymałem bardzo pochlebną i pomocną opinię. Profesor wypytywał mnie także o szereg spraw, które Go zainteresowały. Pomyślałem wtedy: „cóż za tolerancyjny i nieuprzedzony człowiek”. Wyraźnie sobie uświadamiam, że podobne cechy, tj. tolerancję, otwartość i życzliwość, posiada także Jubilat, Profesor Stanisław Krajewski. Świadczy o tym cały Jego dorobek oraz działalność, nie tylko ta związana z nauką, lecz także ta, która dotyczy spraw dialogu międzyreligijnego. Cechy te zatem nie dziwią u Jubilata.

Druga kwestia dotyczy prac ściśle naukowych, z którymi zapoznawałem się też „na bieżąco”. Szczególny wpływ wywarły na mnie dwie z nich (pomijam w tej chwili cały szereg innych z nimi związanych), najbardziej bliskie tematyce, którą się zajmuję, oraz często sposobowi postrzegania przeze mnie pewnych spraw. Są to książki Twierdzenie Gödla i jego interpretacje filozoficzne: od mechanicyzmu do postmodernizmu oraz Czy matematyka jest nauką humanistyczną?. Za niezwykle inspirujące uważam bowiem ukazywanie związków matematyki i – na przykład – teologii, oraz odkrywanie szerszego kontekstu kwestii, które dla wielu są ograniczone do technicznych zagadnień dostępnych wąskiemu gronu specjalistów. Jubilat potrafi, jak nikt inny, spojrzeć na sprawy z innej pespektywy oraz uczynić je bliskimi i ważnymi także dla osób o innych specjalnościach i poglądach. Takie podejście zachęca uczonych pracujących w różnych dyscyplinach do uzupełnienia wiedzy i łączy różne sposoby myślenia i perspektywy poznawcze. Także ta działalność Jubilata ludzi jednoczy, a nie dzieli.

Prof. Roman Murawski:

Staszka poznałem wiosną 1973 r., w czasie Semestru Logicznego w Centrum Banacha. Byłem wtedy nieśmiałym początkującym asystentem z poznańskiej prowincji, pół roku wcześniej skończyłem studia. Z podziwem i zazdrością patrzyłem na kolegów z Warszawy (także na ich oryginalne fryzury!). Na szczęście okazali się otwarci i chętnie dzielili się swoją wiedzą. Potem spotykałem Staszka na seminariach prof. Andrzeja Mostowskiego i (naówczas) doc. Wiktora Marka, na które dojeżdżałem do Warszawy co tydzień, czy później, gdy byłem na studiach doktoranckich w Warszawie. Spotykaliśmy się też oczywiście na konferencjach. Nasze zainteresowania były tematycznie dość bliskie. Wiele razy z nim rozmawiałem, ucząc się nowych faktów. Pomógł mi też w pewien sposób przygotować się do egzaminu doktorskiego z filozofii, „wynosząc” z biblioteki ojca, prof. Władysława Krajewskiego, u którego miałem zdawać egzamin, kilka książek trudnych do zdobycia, a zadanych mi jako lektura.

Wprowadzone przez Staszka pojęcie klasy spełniania okazało się ważnym narzędziem w moich badaniach nad rozszerzalnością modeli arytmetyki Peana do modeli dla arytmetyki drugiego rzędu. Wykorzystywałem je zarówno w pracy doktorskiej, jak i w pracach, które złożyły się na rozprawę habilitacyjną.

Uczestniczyłem też w prowadzonym w pewnym okresie przez Staszka w Instytucie Matematycznym PAN w Warszawie seminarium z filozofii matematyki. To właśnie ta dziedzina okazała się najbardziej wspólna. Kilka razy organizowaliśmy też wspólnie ze Staszkiem sekcje poświęcone właśnie filozofii matematyki (czy to na zjazdach filozoficznych, czy matematycznych).

Nasze wspólne zainteresowania dotyczyły nie tylko filozofii i logiki, ale także (choć w różnym oczywiście stopniu) problematyki związanej z judaizmem. Pamiętam, jak kiedyś ze Staszkiem byłem na modlitwach w synagodze. Niedawno okazało się, że mamy wspólnych znajomych we wspólnocie ekumenicznej Grandchamp (Szwajcaria). Siostra z tej wspólnoty, zaangażowana bardzo w dialog chrześcijańsko-judaistyczny i proces pojednania, zaprzyjaźniona zarówno ze Staszkiem i jego rodziną, jak i ze mną i moją rodziną, jest w jakiś sposób elementem łączącym nas na innym jeszcze polu.

Prof. Kazimierz Trzęsicki:

Zdarzyło mi się być w towarzystwie profesora Władysława Krajewskiego, ojca Stanisława. Opowiadał o sobie, o czasach w Związku Radzieckim. Mówił o swoich poglądach filozoficznych, że jest marksistą, mimo że nie jest członkiem partii (PZPR). Zapamiętałem, jak – mając również na uwadze zaangażowanie religijne syna Stanisława – spuentował swoje wspomnienia stwierdzeniem: jak to się narobiło. Godne szacunku przestrzeganie tradycji przez profesora Stanisława Krajewskiego mogłem bezpośrednio zauważyć w sierpniu 1989 r. w czasie Logic Colloqium w Berlinie, wówczas jeszcze Zachodnim.

W kontaktach z profesorem Stanisławem Krajewskim miałem okazję doświadczać Jego skromności i życzliwości. Kiedy w 2005 r. redagowałem księgę pamiątkową profesora Witolda Marciszewskiego Ratione et Studio mogłem liczyć na artykuł Profesora Stanisława Krajewskiego. W 2012 r. profesor Stanisław Krajewski, włączył się w działania na rzecz przyznania promotorowi swojego doktoratu (1975 r.) profesorowi Andrzejowi Grzegorczykowi doktoratu honoris causa Uniwersytetu Jagiellońskiego, do czego skutecznie doprowadził profesor Jan Woleński. Zostałem zaproszony do wspólnego z profesorem Krajewskim i profesorem Woleńskim zredagowania tomu „Studies in Logic, Grammar and Rhetoric” (2012) dedykowanemu 90-leciu profesora Andrzeja Grzegorczyka. Kolejny raz zaprosił mnie Profesor Stanisław Krajewski do współpracy przy redagowaniu tomu „Studies in Logic, Grammar and Rhetoric” (2016) na temat teologii w matematyce. Korzystałem z wiedzy Profesora Krajewskiego, kiedy zajmowałem się urodzonym w Białymstoku i działającym tam do 30. roku życia wielkim naukowcem i konstruktorem Chaimem Seligiem Slonimskim. Podobnie było w przypadku pochodzącego z Augustowa Emila Posta. Wspominam to, aby udokumentować moje doświadczenia życzliwości profesora Stanisława Krajewskiego.

Prof. Marian Srebrny:

Języki niestandardowe i pojęcie prawdy Pozwólcie mi, Państwo, przypomnieć wyniki Staszka z Jego pracy doktorskiej z 1975 r. Była poświęcona tematowi ważnemu i ciekawemu do dziś. Wśród matematyków Staszek jest znany i ceniony głównie jako twórca niestandardowych klas spełniania.

Wyobraźmy sobie model M dla arytmetyki Peano albo innej teorii zawierającej arytmetykę, np. teorii mnogości Zermelo-Fraenkla, ZF. W tych teoriach robi się arytmetyzację języka. Symbole języka, potem też wyrażenia, numerowane są liczbami naturalnymi. Nazywamy je numerami gödlowskimi. W naturalny sposób robi się to dla klasycznego języka pierwszego rzędu. Można jednak arytmetyzację rozszerzyć na wszystkie formuły języka definiowanego wewnątrz rozważanego modelu. Od symboli alfabetu języka przechodzimy przez indukcję do formuł. Tu już mogą być formuły o niestandardowej (nieskończonej) długości, jeśli model ma niestandardowe liczby naturalne. Tzn. jeśli nie jest ω-modelem.

Staszek badał pojęcie prawdy Tarskiego dla niestandardowych formuł. Przeniósł definicję Tarskiego relacji spełniania na język formuł w modelu niestandardowym. Badał semantykę języków niestandardowych, jako relację spełniania pomiędzy formułami niestandardowymi i spełniającymi je ciągami skończonymi w sensie modelu. Okazało się, że takich klas spełniania jest wiele. Niekoniecznie są zgodne. Główny problem to: co można sformułować w języku niestandardowym i co można udowodnić o klasach spełniania. Młodszych kolegów serdecznie zachęcam do przeczytania rozprawy Staszka i dalszego badania jego niestandardowych klas spełniania. Jest tam jeszcze sporo otwartych problemów. Cytowana literatura to kamienie milowe światowej logiki matematycznej: Tarski, Mostowski, Shelah, Robinson, Barwise, Schlipf, Lévy, Feferman, Montague, Vaught.

Ta problematyka jest obecnie żywo rozwijana. Zacznijmy od definicji Krajewskiego pełnej niestandardowej klasy spełniania (por. Kotlarski 1991). Przez pełną klasę spełniania dla M rozumiemy podzbiór S zbioru zdań w sensie M, który spełnia następujące zwykłe warunki z definicji prawdy Tarskiego:

  1. Jeśli φ jest postaci Sm0 + Sk0 = Sr0, to φ ε S iff m + k = r.
  2. To samo dla innych formuł atomowych.
  3. (¬φ) ε S iff φ (non ε) S, dla każdego zdania φ.
  4. (φ & ψ) ε S iff oba φ, ψ są w S.
  5. (Ǝvkφ) ε S iff φ(SmO) ε S, dla pewnej liczby naturalnej m.

Innymi słowy, jest to definicja pojęcia prawdy dla wszystkich zdań w sensie modelu M, w tym zdań niestandardowych.

Tw 1 (Krajewski 1976): Istnieje model M arytmetyki Peano, który ma con-tinuum różnych klas spełniania.

Tw 2 Kotlarskiego, Krajewskiego i Lachlana (KKL 1981) mówi, że każdy model M arytmetyki Peano ma rozszerzenie elementarne N≻M mające pełną niestandardową klasę spełniania.

Pozostaje pytanie: które modele arytmetyki Peano mają pełną niestandardową klasę spełniania? To samo dotyczy modeli teorii mnogości ZF.

Całkiem niedawno, w listopadzie 2019 roku, Enayat i Schmerl (2019) poprawili tymi metodami dowód Barwise’a i Schlipfa z 1975 r. ważnego wyniku, że jeśli M jest niestandardowy i (M,Def(M)) jest modelem dla pewnego słabego fragmentu analizy, nazywanego Δ11-CA, to M jest rekurencyjnie nasycony. Tutaj Δ11-CA to schemat istnienia klas (od ang. Comprehension Axiom) dla formuł klasy Δ11-CA. A model jest rekurencyjnie nasycony, jeśli każdy niesprzeczny rekurencyjny zbiór formuł z jedną zmienną wolną jest realizowalny w tym modelu.

Staszek obronił doktorat w 1974 r. Promotorem rozprawy był Andrzej Grzegorczyk (doktorat u A. Mostowskiego w 1950 r.). Ale tematyka była właściwie w centrum zainteresowań Profesora Andrzeja Mostowskiego. Staszek jest członkiem i kontynuatorem warszawsko-lwowskiej szkoły logiki matematycznej, budowanej i prowadzonej po wojnie głównie przez Andrzeja Mostowskiego na Wydziale Matematyki UW. Niestety Szkoła Mostowskiego została zniszczona przez celowe działania Służby Bezpieczeństwa. (Opieram to na analizie dokumentów IPN i moich własnych doświadczeń). Kilku logików zostało usuniętych z UW i skierowanych do pracy w innych wskazanych im ośrodkach. W. Marek miał przez kilka lat odmowy paszportowe, nawet do NRD, i blokowany awans na dr. hab., z próbą wyrugowania z UW. W roku 1982 został wezwany przez prorektora UW, prof. Dobrowolskiego, który zakomunikował mu: „Została podjęta decyzja o Pana wyjeździe z Polski”. Sam Andrzej Mostowski miał status tzw. „figuranta” (tj. inwigilowanego) w dokumentach SB. Staszek Krajewski był, w moim rozumieniu tego, co się stało, jednym z najważniejszych ofiar działań SB. Z wyraźną szkodą dla matematyki w Polsce. Po doktoracie, niewątpliwie na poziomie światowym, nie został zatrudniony na UW ani w IMPAN-ie. Przez kilka lat musiał błąkać się po Kielcach i Radomiu. Niechaj o Jego wysokiej klasie świadczy powrót na UW, na Wydział Filozofii i Socjologii, oraz osiągnięcie tu pochodzącej z wyborów pozycji Przewodniczącego Rady Naukowej.

Staszku, gratulacje!

Literatura:

  • Barwise J., Schlipf J., On recursively saturated models of arithmetic, in: Model theory and algebra (A memorial tribute to Abraham Robinson), Lecture Notes in Math., Vol. 498, pp. 42–55,
  • Springer, Berlin 1975. Enayat A., Schmerl J.H., The Barwise-Schlipf Theorem, arXiv.org > math > arXiv:1911.05117v1, math. LO, Cornell Univ, Nov 14, 2019.
  • Kotlarski H.,Full Satisfaction Classes: A Survey, „Notre Dame Journal of Formal Logic” 1991, Vol. 32, No. 4.
  • Kotlarski H., Krajewski S., Lachlan A., Construction of satisfaction classes for non-stan-dard models, „Canadian Mathematical Bulletin” 1981, Vol. 24, pp. 283–293.
  • Krajewski S., Non-standard satisfaction classes, in: Set Theory and Hierarchy Theory, Berlin, Heilderberg, New York 1976, pp. 121–145.

    Prof. David Novak:

I salute my old friend Professor Stanislaw Krajewski on the occasion of his Jubilee. As a leader of the Jewish community of Poland and as a renowned philosopher, he has made extraordinary contributions to both Jewish com-munal life and to Poland’s historic intellectual culture. It is my distinct privilege to know this great man, and to have been his guest to lecture in Poland on two separate occasions. As we Jews like to say, “May he live to (at least) 120 years in good health!”.

Dołączamy się do powyższych życzeń i wraz z przyjaciółmi i współpracownikami Profesora, którzy wpisali się do Tabula Gratulatoria, winszujemy pięknego jubileuszu. Dziękując zaś Jubilatowi za to, co robił w swoim życiu naukowca, i za to, jaki jest, zebraliśmy w tym tomie artykuły dotyczące różnych bliskich mu tematów. Pierwsze sześć artykułów dotyczy zagadnień z zakresu szeroko pojętej filozofii religii; kolejne dwa podejmują problematykę filozofii logiki i matematyki; wreszcie ostatnie dwa teksty w niezwykle ciekawy sposób łączą ze sobą te obszary dociekań, zadając pytania o estetyczny i religijny wymiar matematyki oraz o logikę Boga. Wraz z autorami mamy nadzieję, że będzie to dla Profesora miły prezent, a dla wszystkich czytelników – ciekawa przygoda. Być może numer ten zachęci niektórych do dalszego ekplorowania zagadnień, którym poświęcił swoje naukowe życie prof. Stanisław Krajewski – wybitny matematyk, logik i filozof, a zarazem i przede wszystkim... dobry człowiek.

Zespół Redakcyjny